统计科学之正态性检验

在前面的文章中讲过，很多模型的假设条件都是数据是服从正态分布的。这篇文章主要讲讲如何判断数据是否符合正态分布。主要分为两种方法：描述统计方法和统计检验方法。

01.描述统计方法

描述统计就是用描述的数字或图表来判断数据是否符合正态分布。常用的方法有Q-Q图、P-P图、直方图、茎叶图。

1.1 Q-Q图

此Q-Q非用于聊天的QQ，Q是quantile的缩写，即分位数。分位数就是将数据从小到大排序，然后切成100份，看不同位置处的值。比如中位数，就是中间位置的值。

Q-Q图的x轴为分位数，y轴为分位数对应的样本值。x-y是散点图的形式，通过散点图可以拟合出一条直线，如果这条直线是从左下角到右上角的一条直线，则可以判断数据符合正态分布，否则则不可以。

拟合出来的这条直线和正态分布之间有什么关系呢？为什么可以根据这条直线来判断数据是否符合正态分布呢。

我们先来想一下正态分布的特征，正态分布的x轴为样本值，从左到右x是逐渐增大的，y轴是每个样本值对应的出现的概率。概率值先上升后下降，且在中间位置达到最高。

可以把Q-Q图中的y轴理解成正态分布中的x轴，如果拟合出来的直线是45度，可以保证中位数两边的数值分布是一样的，即正态分布中基于中位数左右对称。

在Python中可以使用如下代码来绘制Q-Q图：

from scipy import stats
fig = plt.figure()
res = stats.probplot(x, plot=plt)
plt.show()

与Q-Q图类似的是P-P图，两者的区别是前者的y轴是具体的分位数对应的样本值，而后者是累计概率。

1.2 直方图

直方图分为两种，一种是频率分布直方图，一种是频数分布直方图。频数就是样本值出现的次数，频率是某个值出现的次数与所有样本值出现总次数的比值。

在Python中我们可以使用如下代码来绘制频数分布直方图：

import matplotlib.pyplot as plt
plt.hist(x,bins = 10)

可以使用如下代码来绘制频率分布直方图：

import seaborn as sns
sns.distplot(x)

与直方图类似的还有茎叶图，茎叶图是类似于表格形式去表示每个值出现的频次。

02.统计检验方法

讲完了描述统计的方法，我们来看一下统计检验的方法。统计检验的方法主要有SW检验、KS检验、AD检验、W检验。

SW检验中的S就是偏度，W就是峰度，峰度和偏度与正态的关系我们在前面的文章有讲过。

2.1 KS检验

KS检验是基于样本累积分布函数来进行判断的。可以用于判断某个样本集是否符合某个已知分布，也可以用于检验两个样本之间的显著性差异。

如果是判断某个样本是否符合某个已知分布，比如正态分布，则需要先计算出标准正态分布的累计分布函数，然后在计算样本集的累计分布函数。两个函数之间在不同的取值处会有不同的差值。我们只需要找出来差值最大的那个点D。然后基于样本集的样本数和显著性水平找到差值边界值(类似于t检验的边界值)。判断边界值和D的关系，如果D小于边界值，则可以认为样本的分布符合已知分布，否则不可以。

PDF( probability density function)：概率密度函数。
CDF( cumulative distribution function)：累积分布函数，是概率密度函数的积分。

在Python中有现成的包可以直接用于KS检验：

from scipy.stats import kstest
kstest(x,cdf = "norm")

x表示待检验的样本集，cdf用来指明要判断的已知分布类型，有：‘norm’,’expon’,’logistic’,’gumbel’,’gumbel_l’, gumbel_r’,
‘extreme1’值可以选，其中norm表示正态分布检验。

kstest会返回两个值：D和对应的p_value值。

2.2 AD检验

AD检验是在KS基础上进行改造的，KS检验只考虑了两个分布之间差值最大的那个点，但是这容易受异常值的影响。AD检验考虑了分布上每个点处的差值。

在Python中可以用如下代码：

from scipy.stats import anderson
anderson(x, dist='norm')

x为待检验的样本集，dist用来指明已知分布的类型。可选值与ks检验中可选值一致。

上面代码会返回三个结果： 第一个为统计值，第二个为评判值，第三个为每个评判值对应的显著性水平

AD检验和anderson有啥关系呢？anderson发明了AD检验。

2.3 W检验

W检验(Shapiro-Wilk的简称)是基于两个分布的相关性来进行判断，会得出一个类似于皮尔逊相关系数的值。值越大，说明两个分布越相关，越符合某个分布。

在Python中的实现代码如下：

from scipy.stats import shapiro
shapiro(x)

上面的代码会返回两个结果：W值和其对应的p_value。

shapiro是专门用于正态性检验的，所以不需要指明分布类型。且 shapiro 不适合做样本数＞5000的正态性检验。

03.非正态数据的处理办法

一般数据不是正态就是偏态，如果偏态不严重可以对数据取平方根来进行转换。如果偏态很严重，则可以对数据进行对数转换。