拓端tecdat|R语言Metropolis Hastings采样和贝叶斯泊松回归Poisson模型

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在本文中，我想向你展示如何使用R的Metropolis采样从贝叶斯Poisson回归模型中采样。

Metropolis-Hastings算法

Metropolis-Hastings抽样算法是一类马尔科夫链蒙特卡洛（MCMC）方法，其主要思想是生成一个马尔科夫链使其平稳分布为目标分布。这种算法最常见的应用之一是在贝叶斯统计中从后验密度中取样，这也是本文的目标。

该算法规定对于一个给定的状态Xt，如何生成下一个状态  有一个候选点Y，它是从一个提议分布 ,中生成的，根据决策标准被接受，所以链条在时间t+1时移动到状态Y，即Xt+1=Y或被拒绝，所以链条在时间t+1时保持在状态Xt，即Xt+1=Xt。

Metropolis 采样

在Metropolis算法中，提议分布是对称的，也就是说，提议分布  满足 

，所以Metropolis采样器产生马尔科夫链的过程如下。

2. 选择一个提议分布. 在选择它之前，了解这个函数中的理想特征。
3. 从提议分布g中生成X0。
4. 重复进行，直到链收敛到一个平稳的分布。

• 从 生成Y.
• 从Uniform(0, 1)中生成U。
• 如果 , 接受Y并设置Xt+1=Y，否则设置Xt+1=Xt。这意味着候选点Y被大概率地接受.
• 递增t.

贝叶斯方法

正如我之前提到的，我们要从定义为泊松回归模型的贝叶斯中取样。

对于贝叶斯分析中的参数估计，我们需要找到感兴趣的模型的似然函数，在这种情况下，从泊松回归模型中找到。

现在我们必须为每个参数β0和β1指定一个先验分布。我们将对这两个参数使用无信息的正态分布，β0∼N(0,100)和β1∼N(0,100) 。

最后，我们将后验分布定义为先验分布和似然分布的乘积。

使用Metropolis采样器时，后验分布将是目标分布。

计算方法

这里你将学习如何使用R语言的Metropolis采样器从参数β0和β1的后验分布中采样。

数据

首先，我们从上面介绍的泊松回归模型生成数据。

n <- 1000 #  样本大小
J <- 2 # 参数的数量
X <- runif(n,-2,2) # 生成自变量的值
beta <- runif(J,-2,2) #生成参数的值
y <- rpois(n, lambda = lambda) # 生成因变量的值

似然函数

现在我们定义似然函数。在这种情况下，我们将使用这个函数的对数，这是强烈建议的，以避免在运行算法时出现数字问题。

LikelihoodFunction <- function(param){
        beta0 <- param\[1\] 
        beta1 <- param\[2\] 
        lambda <- exp(beta1*X + beta0)
        # 对数似然函数
        loglikelihoods <- sum(dpois(y, lambda = lambda, log=T)) 
        return(loglikelihoods)
}

先验分布

接下来我们定义参数β0和β1的先验分布。与似然函数一样，我们将使用先验分布的对数。

        beta0prior <- dnorm(beta0, 0, sqrt(100), log=TRUE)
        beta1prior <- dnorm(beta1, 0, sqrt(100), log=TRUE)
        return(beta0prior + beta1prior) #先验分布的对数

后验分布

由于我们是用对数工作的，我们把后验分布定义为似然函数的对数与先验分布的对数之和。记住，这个函数是我们的目标函数f(.)，我们要从中取样。

提议函数

最后，我们定义提议分布g(.|Xt)。由于我们将使用Metropolis采样器，提议分布必须是对称的，并且取决于链的当前状态，因此我们将使用正态分布，其平均值等于当前状态下的参数值。

Metropolis 采样器

最后，我们编写代码，帮助我们执行Metropolis采样器。在这种情况下，由于我们使用的是对数，我们必须将候选点Y被接受的概率定义为。

        # 创建一个数组来保存链的值
        chain\[1, \] <- startvalue # 定义链的起始值
        for (i in 1:iterations){
                # 从提议函数生成Y
                Y <- ProposalFunction(chain\[i, \]) 
                # 候选点被接受的概率
                                           PosteriorFunction(chain\[i, \]))
                # 接受或拒绝Y的决策标准 
                if (runif(1) < probability) {
                        chain\[i+1, \] <- Y
                }else{ 
                        chain\[i+1, \] <- chain\[i, \]

由于MCMC链具有很强的自相关，它可能产生的样本在短期内无法代表真实的基础后验分布。那么，为了减少自相关，我们可以只使用链上的每一个n个值来稀释样本。在这种情况下，我们将在算法的每20次迭代中为我们的最终链选择一个值。

startvalue <- c(0, 0) # 定义链条的起始值
#每20次迭代选择最终链的值
for (i in 1:10000){
        if (i == 1){
                cfinal\[i, \] <- chain\[i*20,\]
        } else {
                cfinal\[i, \] <- chain\[i*20,\]

# 删除链上的前5000个值
burnIn <- 5000

在这里，你可以看到ACF图，它给我们提供了任何序列与其滞后值的自相关值。在这种情况下，我们展示了初始MCMC链的ACF图和对两个参数的样本进行稀释后的最终链。从图中我们可以得出结论，所使用的程序实际上能够大大减少自相关。

结果

在这一节中，我们介绍了由Metropolis采样器产生的链以及它对参数β0和β1的分布。参数的真实值由红线表示。

与glm()的比较

现在我们必须将使用Metropolis采样得到的结果与glm()函数进行比较，glm()函数用于拟合广义linera模型。

下表列出了参数的实际值和使用Metropolis采样器得到的估计值的平均值。

##       True value Mean MCMC       glm
## beta0  1.0578047 1.0769213 1.0769789
## beta1  0.8113144 0.8007347 0.8009269

结论

从结果来看，我们可以得出结论，使用Metropolis采样器和glm()函数得到的泊松回归模型的参数β0和β1的估计值非常相似，并且接近于参数的实际值。另外，必须认识到先验分布、建议分布和链的初始值的选择对结果有很大的影响，因此这种选择必须正确进行。

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