ERQ：32位转5位仅掉些许精度，来看看两段式后训练量化 | ICML 2024

后训练量化（PTQ）在视觉Transformer（ViTs）领域引起了广泛关注，因为它在模型压缩方面表现出了高效率。然而，现有的方法通常忽视了量化权重和激活之间复杂的相互依赖关系，导致了相当大的量化误差。论文提出了一种名为ERQ的两步PTQ方法，精心设计用于顺序降低激活和权重量化带来的量化误差。ERQ首先引入了激活量化误差减小（Aqer），将激活量化误差的最小化策略性地表述为一个岭回归问题，并通过使用全精度更新权重来解决。随后，ERQ引入了权重量化误差减小（Wqer），采用迭代的方法来减轻由权重量化引起的量化误差。在每次迭代中，采用经验推导出的有效代理来细化量化权重的舍入方向，并结合岭回归求解器以减少权重量化误差。实验结果证明了该方法的有效性。值得注意的是，ERQ在W3A4 ViT-S的准确性上超越了最先进的GPTQ，提升幅度达22.36%。

来源：晓飞的算法工程笔记 公众号，转载请注明出处

论文: ERQ: Error Reduction for Post-Training Quantization of Vision Transformers

• 论文地址：https://arxiv.org/abs/2407.06794

Introduction

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视觉Transformer（ViTs）显著挑战了卷积神经网络（CNNs），成为计算机视觉领域的新范式。ViTs利用多头自注意力（MHSA）机制来捕捉图像块之间的长距离关系，在各种视觉任务中展现出令人印象深刻的进展。

然而，强大的能力伴随着相当的复杂性。ViTs固有的架构复杂性导致了高计算需求和可观的内存要求，这在资源受限的环境中部署时带来了挑战。为了缓解这一困境，模型量化吸引了业界和学术界的持续关注。量化通过实现权重和激活的低位表示来减少模型复杂性，为高效部署提供了一条有前景的途径。最近，研究人员逐渐关注于视觉Transformer的后训练量化（PTQ），该方法旨在利用一个小型校准数据集和较低的成本对模型进行量化。

为了适应ViTs独特的结构，已经许多研究探索了各种后训练量化（PTQ）方法。例如，为了处理长尾post-Softmax激活，有研究提出了 $log2/log \sqrt{2}$ 量化器和twin uniform量化器。为了管理高度变化的激活，有研究采用了重参数化技术和power-of-two因子。此外，有研究采用进化搜索方法来确定不稳定的缩放因子。然而，现有的方法通常忽视了权重和激活量化之间复杂的相互依赖关系，这在权重-激活量化时导致了相当大的量化误差。

论文提出一种为ViTs量身定制的两步后训练量化方法ERQ，旨在顺序减小由量化激活和权重引起的量化误差。如图1所示，ERQ由两个步骤组成，即激活量化误差减少（Aqer）和权重量化误差减少（Wqer）。Aqer将激活量化引起的量化误差公式化为一个岭回归问题，该问题可以通过权重更新以闭式解的方式解决。随后，引入Wqer以迭代的量化和修正方式减小由权重量化引起的量化误差。特别地，在每次迭代中，量化全精度权重的前半部分，并通过先执行四舍五入细化，后再次解决岭回归问题来减小产生的量化误差。前者推导出输出误差的有效代理，用于细化量化权重的四舍五入方向，以降低量化误差。后者则通过更新剩余的全精度权重进一步减小量化误差。这样的过程持续进行，直到所有权重被准确量化。

ERQ在对各种ViTs变体（ViT、DeiT和Swin）及任务（图像分类、目标检测和实例分割）进行的广泛实验中证明了其有效性。值得注意的是，在图像分类任务中，ERQ在W3A4 ViT-S上比GPTQ的性能提高了22.36%。

Method

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相互纠缠的 $\delta{\mathbf{x}}$ 和 $\delta\mathbf{W}$ 使得找到公式 4 的最优解变得具有挑战性。为使问题变得可处理，将公式 4放宽为两个顺序的子问题，通过分别最小化来自量化激活和权重的误差。如图1所示，首先进行激活量化误差减少 (Aqer)，然后进行权重量化误差减少 (Wqer)。

Activation Quantization Error Reduction

为减轻由激活量化引起的误差，引入激活量化误差减少 (Aqer)，将误差减轻问题形式化为岭回归问题。具体来说，将权重保留为全精度，仅考虑由激活量化误差 $\delta{\mathbf{x}}$ 引起的均方误差 (MSE)：

$$ \begin{align} \mathcal{L}^{\text{MSE}} = \mathbb{E} \left[ \| \mathbf{W}\mathbf{x} - \mathbf{W}(\mathbf{x}+\delta{\mathbf{x}})\|_2^2 \right]. \label{eq:obj-act} \end{align} $$

为了最小化公式 5，将其形式化为岭回归问题，其中通过将权重 $\mathbf{W}$ 与调整项 $\delta\mathbf{W}^*$ 相加来完成最小化：

$$ \begin{equation} \begin{aligned} &\mathbb{E} \left[ \| \mathbf{W}\mathbf{x} - (\mathbf{W} + \delta\mathbf{W}^*)(\mathbf{x}+\delta{\mathbf{x}})\|_2^2 \right] + \lambda_1 \| \delta\mathbf{W}^* \|_2^2 \\ & = \mathbb{E} \left[\| - \delta\mathbf{W}^*(\mathbf{x}+\delta{\mathbf{x}}) - \mathbf{W}\delta{\mathbf{x}} \|_2^2\right] + \lambda_1 \| \delta\mathbf{W}^* \|_2^2 \\ & = \mathbb{E} \left[ \| \delta\mathbf{W}^*\bar{\mathbf{x}} + \mathbf{W}\delta{\mathbf{x}} \|_2^2 \right] + \lambda_1 \| \delta\mathbf{W}^* \|_2^2. \label{eq:obj-act1} \end{aligned} \end{equation} $$

这里， $\delta\mathbf{W}^*$ 表示通过岭回归计算出的调整项， $\bar{\mathbf{x}}=\mathbf{x}+\delta\mathbf{x}$ 是量化输入， $\lambda_1\| \delta\mathbf{W}^* \|_2^2$ 作为正则化项， $\lambda_1$ 是控制正则化强度的超参数。公式6构成了岭回归问题。为了最小化它，首先计算其相对于 $\delta\mathbf{W}^*$ 的梯度：

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \frac{\partial}{\partial \delta\mathbf{W}^*} & \mathbb{E}\left[ \| \delta\mathbf{W}^*\bar{\mathbf{x}} + \mathbf{W}\delta{\mathbf{x}} \|_2^2 \right] + \lambda_1 \| \delta\mathbf{W}^* \|_2^2 \\ & = \mathbb{E} \left[ 2 (\delta\mathbf{W}^*\bar{\mathbf{x}} + \mathbf{W}\delta{\mathbf{x}})\bar{\mathbf{x}}^T \right] + 2\lambda_1 \delta\mathbf{W}^*. \label{eq:obj-act2} \end{aligned} \end{equation} $$

然后，通过将公式 7设置为零来求解 $\delta\mathbf{W}^*$ ：

$$ \begin{equation} \begin{aligned} & \mathbb{E}\left[ 2 (\delta\mathbf{W}^*\bar{\mathbf{x}} + \mathbf{W}\delta{\mathbf{x}})\bar{\mathbf{x}}^T \right] + 2\lambda_1 \delta\mathbf{W}^* = 0 \\ & \Rightarrow \delta\mathbf{W}^* = -\mathbf{W} \mathbb{E} \left[\delta{\mathbf{x}}\bar{\mathbf{x}}^T\right](\mathbb{E} \left[\bar{\mathbf{x}}\bar{\mathbf{x}}^T \right] + \lambda_1 \mathbf{I})^{-1}. \end{aligned} \end{equation} $$

正则化项 $\lambda_1 \mathbf{I}$ 确保 $\mathbb{E} \left[\bar{\mathbf{x}}\bar{\mathbf{x}}^T \right] + \lambda_1 \mathbf{I}$ 的逆始终存在，这对计算稳定性至关重要。此外，它抑制了异常值，从而减轻了过拟合，提高了模型的泛化能力。抑制异常值对于随后的权重量化也至关重要，因为它限制了权重的范围。这种限制防止量化点分布在未覆盖的区域，从而增强了量化的表达能力。

在实践中，给定校准数据集，使用 $\frac{1}{N}\sum_n^N \delta{\mathbf{x}}_n\bar{\mathbf{x}}_n^T$ 和 $\frac{1}{N}\sum_n^N \bar{\mathbf{x}}_n\bar{\mathbf{x}}_n^T$ 分别估计 $\mathbb{E}\left[\delta{\mathbf{x}}\bar{\mathbf{x}}^T\right]$ 和 $\mathbb{E}\left[\bar{\mathbf{x}}\bar{\mathbf{x}}^T \right]$ 。这里， $N = B\times T >> D_{in}^s$ ，其中 $B$ 是校准数据集的大小， $T$ 是一张图像的标记数量。请注意， $\delta{\mathbf{x}}$ 和 $\bar{\mathbf{x}}$ 是在给定输入和量化参数的情况下确定的。在得到 $\delta\mathbf{W}^*$ 后，通过 $\mathbf{W} = \mathbf{W} + \delta\mathbf{W}^*$ 将其合并到网络的权重中。通过这样做，所提出的Aqer明确减轻了从量化激活到权重的量化误差。

Weight Quantization Error Reduction

在进行Aqer后需执行权重量化，提出权重量化误差减少（Wqer）来减轻由此产生的量化误差。在这里，目标被定义为：

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \mathcal{L}^{\text{MSE}} & = \mathbb{E} \left[\| \mathbf{W}\bar{\mathbf{x}} - (\mathbf{W}+\delta\mathbf{W})\bar{\mathbf{x}}\|_2^2 \right] = \sum_i^{D_{out}} \mathcal{L}^{\text{MSE}}_i \\ & = \sum_i^{D_{out}} \mathbb{E} \left[\| \mathbf{W}_{i,:}\bar{\mathbf{x}} - (\mathbf{W}_{i,:}+\delta\mathbf{W}_{i,:})\bar{\mathbf{x}}\|_2^2 \right]. \label{eq:obj-weight0} \end{aligned} \end{equation} $$

注意，在进行Aqer后，激活值被量化。公式9表明输出通道之间的最小化是独立进行的。因此，分别分析每个 $\mathcal{L}^{\text{MSE}}_i$ 的最小化。同时对整个全精度权重进行量化会导致无法恢复的量化误差。因此，采用迭代的量化和修正方法，逐步减少由权重量化引起的量化误差。

在每次迭代中，首先对未量化权重的前半部分进行量化，然后减轻由此产生的量化误差。具体来说，从当前的全精度权重 $\mathbf{W}_{i,:}$ 和相应的 $\bar{\mathbf{x}}$ 开始。然后，将 $\mathbf{W}$ 划分为两个部分：前半部分 $\mathbf{W}^s_{i,:} \in \mathbb{R}^{ 1\times D_{in}^s}$ 用于量化，而剩余部分 $\mathbf{W}^r_{i,:} \in \mathbb{R}^{1 \times D_{in}^r}$ 保持全精度。对应地，从 $\bar{\mathbf{x}}$ 中派生出 $\bar{\mathbf{x}}^s \in \mathbb{R}^{D_{in}^s}$ 和 $\bar{\mathbf{x}}^r \in \mathbb{R}^{D_{in}^r}$ ，其中 $\bar{\mathbf{x}}^s$ 和 $\bar{\mathbf{x}}^r$ 分别包含与 $\mathbf{W}^s_{i,:}$ 和 $\mathbf{W}^r_{i,:}$ 对应的 $\bar{\mathbf{x}}$ 的行。量化后的 $\mathbf{W}^s_{i,:}$ 的量化误差记为 $\delta\mathbf{W}^s_{i,:} = \bar{\mathbf{W}}^s_{i,:} - \mathbf{W}^s_{i,:}$ ，由此产生的均方误差（MSE）为：

$$ \begin{equation} \begin{split} \mathcal{L}^{\text{MSE}}_i & = \mathbb{E} \big[ \| [ \mathbf{W}^s_{i,:},\mathbf{W}^r_{i,:} ] [ \bar{\mathbf{x}}^s, \bar{\mathbf{x}}^r ] \\ & \quad\quad\quad - [ \mathbf{W}^s_{i,:}+\delta\mathbf{W}^s_{i,:},\mathbf{W}^r_{i,:} ] [ \bar{\mathbf{x}}^s, \bar{\mathbf{x}}^r ] \|_2^2 \big] \\ & = \mathbb{E} \left[ \| \delta\mathbf{W}^s_{i,:}\bar{\mathbf{x}}^s \|_2^2 \right]. \end{split} \label{eq:obj-weight-divide} \end{equation} $$

在这里， $\mathbf{W}_{i,:} = [ \mathbf{W}^s_{i,:},\mathbf{W}^r_{i,:} ]$ ， $\bar{\mathbf{x}} = [ \bar{\mathbf{x}}^s, \bar{\mathbf{x}}^r ]$ 。为了减轻公式10，首先引入四舍五入优化（Rounding Refinement），在该过程中会细化量化权重的四舍五入方向。比如调整 $\delta\mathbf{W}^s_{i,:}$ ，以减少 $\mathbb{E} \left[ \| \delta\mathbf{W}^s_{i,:}\bar{\mathbf{x}}^s \|_2^2 \right]$ 本身。然后，在四舍五入优化之后，给定 $\mathbb{E} \left[ \| \delta\mathbf{W}^s_{i,:}\bar{\mathbf{x}}^s \|_2^2 \right]$ ，构建一个岭回归（Ridge Regression）问题，通过调整 $\mathbf{W}^r_{i, :}$ 来进一步减轻该误差。

Rounding Refinement

最初，目标是调整量化权重的四舍五入方向，以最小化 $\mathbb{E} \left[ \| \delta\mathbf{W}^s_{i,:}\bar{\mathbf{x}}^s \|_2^2 \right]$ 。具体来说，对于 $\mathbf{W}^s_{i,:}$ 中的第 $j$ 个值，记作 $\mathbf{W}^s_{i,j}$ ，量化过程涉及向下取整或向上取整。因此， $\mathbf{W}^s_{i,:}$ 的量化误差，记作 $\delta\mathbf{W}^s_{i,j}$ ，可以表示为 $\delta\mathbf{W}^{s\downarrow}{i, j}$ 或 $\delta\mathbf{W}^{s\uparrow}{i, j}$ 。这里， $\delta\mathbf{W}^{s\downarrow}_{i, j} = \mathbf{W}^s_{i,j} - \text{Q}_{un\downarrow}(\mathbf{W}^s_{i,j}, b) > 0$ 表示采用向下取整策略所产生的误差， $\delta\mathbf{W}^{s\uparrow}_{i, j} = \mathbf{W}^s_{i,j} - \text{Q}_{un\uparrow}(\mathbf{W}^s_{i,j}, b) < 0$ 表示采用向上取整策略所产生的误差，其中 $\downarrow/\uparrow$ 表示在公式1中将 $\left\lfloor \cdot \right\rceil$ 替换为 $\left\lfloor \cdot \right\rfloor$ / $\left\lceil \cdot \right\rceil$ 。

选择 $\delta\mathbf{W}^s_{i,:}$ 是一个NP难题，其解可以通过混合整数二次规划（MIPQ）进行搜索。然而， $\mathbb{E} \left[ \| \delta\mathbf{W}^s_{i,:}\bar{\mathbf{x}}^s \|_2^2 \right]$ 的高计算复杂度使得在合理时间内找到解决方案成为一项挑战。如表1所示，使用 $\mathbb{E} \left[ \| \delta\mathbf{W}^s_{i,:}\bar{\mathbf{x}}^s \|_2^2 \right]$ 作为MIPQ的目标消耗了约130小时的巨大时间成本。

• Efficient Proxy

因此，目标是找到 $\mathbb{E} \left[ \| \delta\mathbf{W}^s_{i,:}\bar{\mathbf{x}}^s \|_2^2 \right]$ 的一个高效代理。首先，将 $\mathbb{E} \left[ \| \delta\mathbf{W}^s_{i,:}\bar{\mathbf{x}}^s \|_2^2 \right]$ 重写为：

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \mathbb{E} \left[ \| \delta\mathbf{W}^s_{i,:}\bar{\mathbf{x}}^s \|_2^2 \right] & \overset{\Delta}{=} (\mathbb{E} \left[ \delta\mathbf{W}^s_{i,:}\bar{\mathbf{x}}^s \right])^2 + \text{Var} \left[ \delta\mathbf{W}^s_{i,:}\bar{\mathbf{x}}^s \right]. \label{eq:obj-weight1} \end{aligned} \end{equation} $$

这里， $\Delta$ 表示利用 $\mathbb{E}\left[ Z^2 \right] = (\mathbb{E}\left[ Z \right])^2 + \text{Var}\left[ Z \right]$ 。

根据中心极限定理，神经网络中的大量乘法和加法运算使得激活值通常呈现出高斯分布，这也是许多以前量化领域研究的基本假设。同时，图2展示了全精度和量化激活的通道分布。可以看出，量化激活仍然表现出近似的高斯分布。

因此，论文认为 $\bar{\mathbf{x}}^s$ 的通道分布仍然可以通过高斯分布进行捕捉，并用 $D_{in}^s$ 维的高斯分布 $\mathcal{N}(\boldsymbol{\mu}^s, \boldsymbol{\Sigma}^s)$ 对 $\bar{\mathbf{x}}^s$ 进行建模，其中 $D_{in}^s$ 是 $\bar{\mathbf{x}}^s$ 的维度， $\boldsymbol{\mu}^s \in \mathbb{R}^{D_{in}^s}, \boldsymbol{\Sigma}^s \in \mathbb{R}^{D_{in}^s \times D_{in}^s}$ 。然后，公式11变为：

$$ \begin{equation} \begin{aligned} & \mathbb{E} \left[ \delta\mathbf{W}^s_{i,:}\bar{\mathbf{x}}^s \right]^2 + \text{Var} \left[ \delta\mathbf{W}^s_{i,:}\bar{\mathbf{x}}^s \right] \\ & \quad = \delta\mathbf{W}^s_{i,:}\boldsymbol{\mu}^s\boldsymbol{\mu}^{sT}(\delta\mathbf{W}^s_{i,:})^T + \delta\mathbf{W}_{i,:}\boldsymbol{\Sigma}^s(\delta\mathbf{W}^s_{i,:})^T \\ & \quad = \delta\mathbf{W}^s_{i,:}(\boldsymbol{\mu}^s\boldsymbol{\mu}^{sT} + \boldsymbol{\Sigma}^s)(\delta\mathbf{W}^s_{i,:})^T. \label{eq:obj-weight3} \end{aligned} \end{equation} $$

这里，公式12是得到的 $\mathbb{E} \left[ \| \delta\mathbf{W}^s_{i,:}\bar{\mathbf{x}}^s \|_2^2 \right]$ 的代理。在实践中，使用给定的校准数据集来估计经验值 $\hat{\boldsymbol{\mu}}^s$ 和 $\hat{\boldsymbol{\Sigma}}^s$ 。请注意，对于所有输出通道， $\hat{\boldsymbol{\mu}}^s$ 和 $\hat{\boldsymbol{\Sigma}}^s$ 是共享的，只需进行一次计算。

图3展示了代理与 $\mathbb{E} \left[ \| \delta\mathbf{W}^s_{i,:}\bar{\mathbf{x}}^s \|_2^2 \right]$ 之间的关系。可以看出，所提出的代理与真实值成比例，证明了其可信度。

使用代理的计算复杂度为 $O((D_{in}^s)^2)$ ，而 $\mathbb{E} \left[ \| \delta\mathbf{W}^s_{i,:}\bar{\mathbf{x}}^s \|_2^2 \right]$ 的复杂度为 $O(ND_{in}^s)$ ，其中 $N >> D_{in}^s$ 。因此，该代理可以作为一个低成本的目标，用于求解 $\delta\mathbf{W}^s_{i,:}$ 。如表1所示，将方程12作为MIPQ的目标将时间成本从约130小时降低到约10小时。然而，由于当前开源的MIPQ实现仅支持CPU，无法充分利用GPU的能力，这样的成本仍然是适度的。接下来将介绍Rounding Refinement，一种支持GPU的方法，利用代理的梯度更快地调整 $\delta\mathbf{W}^s_{i,:}$ 。

• Rounding Refinement

首先，使用最接近取整策略初始化 $\delta\mathbf{W}^s_{i,j}$ 。此时， $\delta\mathbf{W}^s_{i,j}$ 要么等于 $\delta\mathbf{W}^{s\downarrow}_{i, j}$ ，要么等于 $\delta\mathbf{W}^{s\uparrow}_{i, j}$ 。然后，目标是确定一个索引集合 $\mathcal{S}$ ，该集合包含需要修改的元素的索引集合，其取整方向被颠倒：

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \delta\mathbf{W}_{i, j}^s = \begin{cases} \delta\mathbf{W}^{s\downarrow}_{i, j} & \text{if} \,\, \delta\mathbf{W}_{i, j}^s = \delta\mathbf{W}^{s\uparrow}_{i, j} \\ \delta\mathbf{W}^{s\uparrow}_{i, j} & \text{otherwise.} \end{cases} , j \in \mathcal{S}. \label{eq:obj-weight6} \end{aligned} \end{equation} $$

为了确定 $\mathcal{S}$ ，首先对代理（公式12）相对于 $\delta\mathbf{W}^s_{i,:}$ 求导。

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{G}_{\delta\mathbf{W}^s_{i,:}} & = \frac{\partial}{\partial \delta\mathbf{W}^s_{i,:}} \delta\mathbf{W}^s_{i,:}(\boldsymbol{\mu}^s\boldsymbol{\mu}^{sT} + \boldsymbol{\Sigma}^s)(\delta\mathbf{W}^s_{i,:})^T \\ & = 2 \delta\mathbf{W}^s_{i,:}(\boldsymbol{\mu}^s\boldsymbol{\mu}^{sT} + \boldsymbol{\Sigma}^s) . \label{eq:obj-weight4} \end{aligned} \end{equation} $$

只选择梯度符号相同的元素，因为这才是允许颠倒的唯一方式。例如，当 $\delta\mathbf{W}_{i, j}^s = \delta\mathbf{W}^{s\downarrow}_{i, j}$ 时，仅当 $\boldsymbol{G}_{\delta\mathbf{W}_{i, j}^s}$ 与 $\delta\mathbf{W}_{i, j}^s$ 具有相同的符号时，才能将其替换为 $\delta\mathbf{W}^{s\uparrow}_{i, j}$ 。因此，索引集合 $\mathcal{S}$ 定义为：

$$ \begin{equation} \begin{aligned} & \mathcal{S} = \mathrm{topk\_index}(\mathcal{M}), \\ & \mathcal{M} = \lvert \boldsymbol{G}_{\delta\mathbf{W}_{i, :}^s} \odot \mathbb{1}(\boldsymbol{G}_{\delta\mathbf{W}_{i, :}^s} \odot \delta\mathbf{W}_{i, :}^s ) \rvert \in \mathbb{R}^{D_{in}^s}. \label{eq:obj-weight5} \end{aligned} \end{equation} $$

这里， $\mathrm{topk\_index}$ 返回前 $\mathrm{k}$ 个元素的索引， $\mathbb{1}(\cdot)$ 对于非负输入返回1，对负输入返回0， $\lvert \cdot \rvert$ 返回输入的绝对值。

在获得 $\mathcal{S}$ 后，通过公式13进行颠倒。上述过程会迭代，直到调整后的 $\delta\mathbf{W}^s_{i, :}$ 引发更大的代理值或达到最大迭代次数。在获得 $\delta\mathbf{W}^s_{i, :}$ 后，量化可以通过 $\bar{\mathbf{W}}^s_{i, :} = \mathbf{W}^s_{i, :}+\delta\mathbf{W}^s_{i, :}$ 完成。然后，将 $\bar{\mathbf{W}}^s_{i, :}$ 添加到量化权重集合中。Rounding Refinement的整体过程在算法1的第7行到第18行中给出。如表1所示，Rounding Refinement通过 $150\times$ 的成本显著减少了时间开销，从10小时减少到4分钟，同时可接受的准确性损失。

• Ridge Regression

在Rounding Refinement之后，建议用 $\delta\mathbf{W}^{r*}_{i, :}$ 调整 $\mathbf{W}^r_{i, :}$ ，以进一步抵消 $\mathbb{E} \left[ \| \delta\mathbf{W}^s_{i,:}\bar{\mathbf{x}}^s \|_2^2 \right]$ ，从而得到以下目标：

$$ \begin{equation} \begin{split} \mathbb{E} \big[ \|\delta\mathbf{W}^s_{i, :}\bar{\mathbf{x}}^s + \delta\mathbf{W}^{r*}_{i, :}\bar{\mathbf{x}}^r \|_2^2 \big] + \lambda_2\| \delta\mathbf{W}^{r*}_{i, :} \|_2^2, \end{split} \label{eq:obj-weight7} \end{equation} $$

其中， $\lambda_2$ 是一个超参数，用于控制正则化项 $\lambda_2\| \delta\mathbf{W}^{r*}_{i, :} \|_2^2$ 的强度。公式16的最小化形成了岭回归问题，解决方案定义为：

$$ \begin{equation} \begin{split} \delta\mathbf{W}^{r*}_{i, :} = - \delta\mathbf{W}^s_{i, :}\mathbb{E} \left[ \bar{\mathbf{x}}^s\bar{\mathbf{x}}^{rT} \right](\mathbb{E} \left[ \bar{\mathbf{x}}^r \bar{\mathbf{x}}^{rT} \right] + \lambda_2 \mathbf{I})^{-1}. \end{split} \label{eq:obj-steptwosolution} \end{equation} $$

在实践中，通过使用 $\frac{1}{N}\sum_n^N \bar{\mathbf{x}}_n^r\bar{\mathbf{x}}_n^{sT}$ 和 $\frac{1}{N}\sum_n^N \bar{\mathbf{x}}_n^r\bar{\mathbf{x}}_n^{rT}$ 来估计 $\mathbb{E}\left[\bar{\mathbf{x}}^r \bar{\mathbf{x}}^{sT}\right]$ 和 $\mathbb{E}\left[\bar{\mathbf{x}}^r \bar{\mathbf{x}}^{rT} \right]$ 。随后， $\mathbf{W}^r_{i, :} = \mathbf{W}^r_{i, :}+\delta\mathbf{W}^{r*}_{i, :}$ 以减小误差。目前， $\mathbf{W}^r_{i, :}$ 仍然保持为全精度，并将在下一次迭代中处理。该过程持续进行，直到所有权重被准确量化。所提出的Rounding Refinement和Ridge Regression共同形成了Wqer，其整体过程在算法1中给出。在实践中，对多个输出通道并行执行Wqer。

Experiments

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