Matlab贝叶斯估计MCMC分析药物对不同种群生物生理指标数据评估可视化

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*原文出处：拓端数据部落公众号*

摘要：本文着重探讨了如何利用Matlab实现贝叶斯估计。阐述了具体的实现流程，涵盖数据加载、先验常数设定、马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）属性指定、模型构建、运行链条以及结果查看等环节，通过展示相应的代码示例及结果图，体现了Matlab在贝叶斯估计应用方面的作用和价值。

引言

贝叶斯估计在众多领域都占据着重要地位，它借助先验信息与样本数据对未知参数进行推断。Matlab凭借其强大的功能，为贝叶斯估计的实施提供了有力的平台支持，使得在该环境下进行贝叶斯估计相关操作变得便捷且高效。

在生物学中研究某种药物对不同种群生物的影响，通过收集不同种群生物在使用药物后的相关生理指标数据（代码中的y1、y2所代表的数据），利用贝叶斯估计代码就能结合已有的关于该药物作用机制等先验知识（先验分布设定部分体现），对药物作用效果相关的关键参数（比如药物对不同种群平均作用强度mu、作用效果的波动程度sigma等）进行合理估计。借助 MCMC 模拟及结果分析，不仅能得到这些参数的后验分布情况，还能通过可视化的图形直观判断不同种群受药物影响的差异等情况，为进一步研发更有针对性的药物、优化治疗方案等提供有力依据。 

Matlab贝叶斯估计概述

（一）贝叶斯定理

贝叶斯估计的核心理论依据是贝叶斯定理，其基本公式可以简单表示为：

其中，(P(\theta|x))被称为后验概率，它表示在给定观测数据 (x) 的情况下，参数 (\theta) 的概率分布，这也是贝叶斯估计最终想要得到的结果。(P(x|\theta)) 是似然函数，反映了在参数 (\theta) 取值确定的情况下，观测到数据 (x) 的概率。(P(\theta)) 是先验概率，体现了在没有观测数据之前，我们对参数 (\theta) 的认知或者主观判断。而 (P(x)) 是证据因子，通常作为一个归一化常数，确保后验概率的积分为 1。
在实际应用中，贝叶斯估计就是利用先验概率结合似然函数，通过贝叶斯定理来更新对参数的认知，得到后验概率分布，以此来对未知参数进行推断。

（二）先验分布的选择

先验分布 (P(\theta)) 的选择至关重要，它会影响最终后验分布的结果。常见的先验分布有均匀分布、正态分布、伽马分布等。
比如选择均匀分布作为先验时，意味着在参数的取值范围内，各个取值的可能性是相等的，这体现了对参数没有特别偏向的先验认知；而选择正态分布作为先验，往往是基于以往经验或者理论认为参数大概率会围绕某个均值附近波动。不同的先验分布选择需要根据实际问题背景、已有的知识储备以及对参数的大致预期等来综合确定。

（三）马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）方法

在贝叶斯估计中，通常很难直接求出后验分布的解析表达式，这时候就需要借助一些数值计算方法来进行近似求解，MCMC方法就是其中非常重要的一种。
MCMC方法的基本思想是通过构建一个马尔可夫链，使得该链的平稳分布就是我们要求的后验分布。它通过不断地在参数空间进行随机抽样，经过足够多的迭代后，所得到的样本就可以近似看作是来自后验分布的样本。常用的MCMC算法有Metropolis-Hastings算法、吉布斯采样（Gibbs Sampling）等。
例如Metropolis-Hastings算法，它通过设定一个建议分布来生成候选样本，然后按照一定的接受概率来决定是否接受这个候选样本进入马尔可夫链中。经过大量的迭代，链会逐渐收敛到平稳分布，也就是目标后验分布，从而可以利用这些抽样得到的样本进行统计分析，比如计算均值、方差等来估计参数。

药物对不同种群生物的影响分析

（一）数据加载

生物学中研究某种药物对不同种群生物的影响，通过收集不同种群生物在使用药物后的相关生理指标数据（代码中的y1、y2所代表的数据） ，变量 x 代表着分组指示变量，用于区分不同种群生物这一关键分组信息：

%% 加载一些数据
y1 = \[101,100,102,104,1......
y = \[y1,y2\]; % 将数据合并成一个向量
x = \[ones(1,len)\]; % 组归属代码
nTotal = length(y);

上述代码首先定义了两组示例数据y1和y2，接着通过将y1和y2合并成y向量，以及创建表示组归属的x向量等操作，完成了数据的准备工作，nTotal则记录了总的数据长度，为后续分析做铺垫。

（二）先验常数指定

%% 指定先验常数，伽马分布的形状和比率
mu1PriorSD = std(y)*5; % 较平坦的先验

% 现在获取伽马分布的形状和比率

% 将先验常数保存在一个结构体中，以便后续使用
dataList = struct('y',y,'x',x,'nTotal',nTotal,...
 'mu1PriorMean',mu1PriorMean,'mu1PriorSD',mu1PriorS

这部分代码主要是设定先验相关的常数，比如均值、标准差等。像mu1PriorMean等变量是通过对数据y计算均值、标准差等方式来确定先验的一些参数情况。然后利用自定义函数mbe_gammaShRa来获取伽马分布的形状和比率参数，最后将这些先验相关的参数整合到结构体dataList中，方便后续操作中调用。

（三）MCMC属性指定及链条运行

%% 指定MCMC属性
% 每个链条保存的MCMC步骤数
% 这与其他类似情况不同，在其他情况中，可能需要一起定义所有链条要保存的步骤数（在此示例中为12000）
numSavedSteps = 4000;
% 独立的MCMC链条数量
nChains = 3;
% 进行稀疏处理的步骤数，在运行过程中将只保留每隔n步的步骤。这不会影响保存的步骤数。即，为了计算10000个保存的步骤，实际运行时将计算50000个步骤
% 如果内存不是问题，建议使用更长的链条，并且根本不进行稀疏处理
thinSteps = 5;....

首先指定了MCMC的一些关键属性，比如要保存的步骤数numSavedSteps、链条数量nChains、稀疏处理的步长thinSteps以及预烧期样本数量burnInSteps等，这些参数对于后续MCMC模拟的质量和效率等方面有着重要影响。接着初始化链条，根据已有数据来设定如mu、sigma等的初始值，并为每个链条设置好潜在变量的初始值存放在initsList中。然后构建模型，将其以文本形式保存到文件中，最后利用matjags结合相关参数来运行链条，得到模拟的样本等结果。

（四）结果查看与分析

通过调用mbegMCMC函数可以对链条进行诊断分析，运行此代码后会得到相应的图形，例如：

从图中可以直观地观察链条的一些特性等情况，辅助判断模拟是否合理等。

%% 分析结果
% 此时，希望一次性使用所有链条，所以首先需要将各个链条连接成一个长链条
mcmcChain = m
% 获取汇总信息并绘制相关图形
summary = mbe
% 准备数据格式
data{1} = y1;
data{2} = y2;
mbs(data,mcmcChain);

这部分代码先是将各个链条连接起来，便于后续统一分析。然后利用相关函数获取结果的汇总信息，并且通过特定函数绘制相应图形，像以下这些示例图：


通过这些图形，可以直观地看到参数的分布情况，进而帮助我们更好地理解贝叶斯估计的结果，为后续基于这些结果进行进一步分析等提供依据。

总结

本文详细介绍了利用Matlab实现贝叶斯估计的相关流程，通过代码示例展示了从数据加载、先验设定、MCMC模拟到结果查看的完整过程。Matlab在贝叶斯估计应用中有着良好的实用性，能帮助使用者便捷地开展相关分析，并且借助图形展示让结果更加直观易懂。不过在实际应用中，使用者还需依据具体的数据特性和分析需求，合理地调整诸如先验参数、MCMC属性等关键设置，以获取更精准、可靠的贝叶斯估计结果。随着相关技术的不断发展，相信Matlab在贝叶斯估计方面的应用会更加完善，应用场景也会进一步拓展。