具有各态历经性必定是平稳随机过程吗？

Question

只要观测时间足够长，随机过程任意一个实现都能经历所有可能的状态。

而平稳随机过程的特点是概率密度与时间无关。倘若有一个随机过程，它的概率密度随时间变化，即为非平稳随机过程，但也可以经历所有可能的状态啊！

所以这里就迷惑了，求大神解答！

Answer 1

如果我没理解错的话，平稳随机过程要求的是统计特性不随时间的推移而变化，并没有说概率密度与时间无关，比如随时间变化的正态分布 μ = 0 且 σ = cos t + 2，它应该就满足平稳随机过程的要求。（不过话说概率密度随时间变化，这样的密度函数有实际意义么？忘记了……）

而各态历经性的定义是统计平均等于它任意一次实现的时间平均，满足这个条件的随机过程就已经满足广义平稳随机过程的定义，所以具有各态历经性的随机过程必然是平稳随机过程，至少这个是很确定的。

（多年不碰这些早已生疏，不过感觉这算是基本概念了，所以斗胆回答一下，希望没说错……）

Answer 2

我可以看出楼主对各态历经性的理解和平稳性的理解非常 religious。楼主所说的“平稳随机过程的概率密度与时间无关”，这是严平稳随机过程的定义。而 huandu 君所说的“统计特性不随时间推移而变化”则是误解了宽平稳随机过程。一般我们说一个信号是平稳的，是在宽平稳意义上的。对于只用二阶统计量就能描述的信号，宽平稳满足的条件是：信号的均值是时间的常数；自相关函数只与时间差有关，与时间点无关。用数学公式写出就是：
E[X(t)]=m_x
E[X(t_1)X(t_2)]=\phi_{xx}(t_1-t_2)
(I assume you understand LaTeX)
楼主对各态历经性的理解，似乎是借鉴了马尔科夫过程（至少是离散、状态有限马尔科夫过程）对”各态历经“的定义。但是这里的”状态“恐怕不是马尔科夫链里那种直观的状态。它是指，信号的统计意义上的平均等于总集意义上的平均。所谓”统计意义“，是指数学期望 E()，而总集意义是指任意一个观测——也可说信号实例——都能准确地得到信号的统计量。如果没有各态历经性，为了求出诸如 E[X(t)]、E[X(t)X(t+ \tau )],由于你不知道一个信号的概率密度函数，你就得做无数次观测。用数学公式写出来我就不写了，任何一本通信原理书上应该有。
最后来说楼主的问题，其实 huandu 已经给出了正确答案。没错，各态历经性的随机过程是具有平稳性随机过程的一个子集。要不然你就无法写出具有各态历经性随机过程的自相关函数表达。

SF 第一贴。