什么叫通过增加势的单位来支配隐藏的常数？

Question

什么叫通过增加势的单位来支配隐藏的常数？

《算法导论第三版》19.2节最后部分是对抽取最小结点的摊还分析。

如上图所示

问题1：从O(D(n)+t(H))+((D(n)+1)+2m(H))-(t(H)+2m(H))到O(D(n))+O(t(H))-t(H)的中间过程是怎样的？

问题2：从O(D(n))+O(t(H))-t(H)到O(D(n))的中间过程是怎样的？

问题3：什么叫可以增大势的单位？

问题4：增大势的单位为什么可以支配隐藏在O(t(H))中的常数？

问题5：请接地气地描述这个摊还分析的整个过程？

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问题3：什么叫可以增大势的单位？

在摊还分析中，尤其是使用势能法时，"增大势的单位"意味着我们重新定义势能函数φ，使得在每次操作后，即使操作成本较低，我们也能通过增加势能（即增加φ的值）来"存储"一些额外的成本，以便在未来某个时候使用。这实际上是一种在时间上重新分配成本的技术，使得在平均意义上，每次操作的成本看起来更加平滑。

具体来说，如果原来的势能函数φ(x)表示某种与数据结构x相关的成本度量，我们可能通过修改φ(x)的定义（例如，乘以一个常数或添加新的项）来"增大势的单位"，这样，在某些操作发生时，我们可以允许势能增加更多，以补偿那些成本较低但频繁发生的操作，从而确保在长时间内，操作的平均成本满足我们期望的界。

问题4：增大势的单位为什么可以支配隐藏在O(t(H))中的常数？

在摊还分析中，隐藏在O(t(H))中的常数可能代表了一些固定但不可忽视的成本，这些成本在单独看某个操作时可能显得不重要，但在多次操作累积后可能变得显著。通过增大势的单位，我们可以将这些常数成本的一部分或全部"吸收"到势能中，即在每次操作时通过增加更多的势能来"支付"这些常数成本。这样，在分析平均成本时，这些常数成本就被势能的变化所"支配"了，从而不再直接影响操作的平均成本界。

问题5：请接地气地描述这个摊还分析的整个过程？

摊还分析是一种计算算法操作平均成本的技术，尤其适用于那些操作成本波动较大的情况。整个过程可以这样接地气地描述：

定义势能函数：首先，我们需要定义一个势能函数φ，它描述了数据结构在某一状态下的"潜在能量"或"成本"。这个函数通常与数据结构中的元素数量、高度、深度或其他一些属性相关。
分析操作成本：对于每个操作，我们计算其实际成本（即直接发生的成本，如比较、赋值等）和势能变化（即操作后势能函数值的变化）。
增大势的单位（如果需要）：如果发现某些操作的平均成本难以直接通过原始势能函数来控制，我们可以考虑增大势的单位，即重新定义势能函数，使其能够"吸收"更多的成本。
计算摊还成本：每个操作的摊还成本是其实际成本加上势能变化。这样，即使某些操作的实际成本很低，但由于势能增加，其摊还成本也可能很高，从而平衡了那些实际成本很高的操作。
得出平均成本界：最后，我们通过分析所有操作的摊还成本来得出算法的平均成本界。由于势能的变化在长时间内会相互抵消（除非数据结构的状态发生了根本性变化），因此平均成本主要由操作的摊还成本决定。

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