1.2-点线面间的位置关系

1.2.1 平面的基本性质与推论

一，平面的基本性质
1.两点之间，线段最短
2.过两点，有且只有一条直线

二，公理
1.如果一条直线的两个点在平面内，那么这条直线就在平面内，直线中的所有点也在平面内
2.不共线的三点确定一个平面
3.平面和平面之间有三种位置关系：重合、相交、平行
4.相交的两个平面有且只有一条公共直线

三，平面基本性质的推论
1.经过直线和直线外的一点，有且只有一个平面
2.经过两条相交的直线，有且只有一个平面
3.经过两条平行的直线，有且只有一个平面

四，用集合描述点线面的关系
1.点A 在和不在平面α 内：A ∈ α，A ∉ α
注：点α 是一个元素
2.直线l 在和不在平面α 内：l ⊆ α，l ⊈ α
注：直线l 是点的集合
3.平面α 和平面β 相交于直线 l ：α ∩ β=l
4.直线l 和m 相交于点A：l ∩ m = {A}，简写为：l ∩ m = A
5.如果A ∈ α，B ∈ α，直线AB ⊆ α
注：⊂ 和⊆，⊄和⊈，是一个意思，新教材已经不用⊂和⊄ 了

1.2.2 空间中的平行关系

一，直线与直线的平行
1.过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行
2.平行于同一直线的两条直线相互平行（空间平行线的传递性）
3.若两个角方向相同，且两个边对应平行，则两个角相等
4.空间四边形：

• 定义：不共面的四个点按照到起点的距离，依次连接而成的图形
• 对角线：空间四边形中不相邻两点连接而成的线段

二，直线与平面的平行
1.定义：直线与平面没有交点。
2.定理：不在平面α 内的直线l ，和平面α 内的直线m 平行，那么直线l 和平面α 平行

三，平面和平面平行
1.定义：两个平面内没有公共点
2.平面α 内的两条相交直，平行于平面β，则平面α 和平面β 平行

• 推论：平面α 内的两条相交直线，分别平行于平面β 内的两条直线，则平面α 和平面β 平行

3.定理：若两个平行平面，同时相交于另一平面，那它们的交线平行

1.2.3 空间中的垂直关系

一，直线与直线的垂直：两条直线的垂直，并不一定要有交点，只要心意垂直即可。
二，直线和平面的垂直
1.定义：直线l 和平面α 相交，交点为点o，若平面α 内所有经过点o 的直线都与直线l 垂直，则l 与α垂直

• 直线l ：平面α 的垂线
• 平面α ：直线l 的垂面
• 交点o：垂足
• 垂线段：垂线上任意一点到垂足的线段
• 点到平面的距离：垂线段的长度

2.定理：

• 垂线和垂面内的任意直线垂直
• 若直线l 和平面α 内的两条相交直线垂直，则直线l 与平面α 垂直
• 垂直于同一平面的两条垂线平行

3.推论：两条平行线中，若一条垂直于平面α，则另一条也垂直于此平面α

三，平面和平面的垂直
1.定义：在平面α 中绘制两条垂直的直线l 和m，基于这两条直线延伸出两个垂直于α 的平面β和ζ，那么β和ζ 相互垂直。
2.定理：

• 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则两个平面垂直。
• 两个平面相互垂直，其交线为l，两个平面中垂直于l 的任意直线都与另一平面垂直。