【时间复杂度比较】 x^y与y^x

Question

x^y与y^x

x与y均为整数（>0），其中^表示幂运算

比较哪种情况下x^y优，y^x优

Answer 1

x^y>y^x
<=>
ln(x^y)>ln(y^x)
<=>
ylnx>xlny
<=>
(lnx)/x>(lny/y)
令f(x)=ln(x)/x
f'(x)=(1-lnx)/x^2
f'(x)<=0=>x>=e
于是f(x)在x>=e上递减
那么就需要讨论一下情况了。。

1. x, y均<e，则只有1 2两个数，情况很明显，2>1
2. x, y均>e，则当x<y时，x^y>y^x

3. x<e, y>e，继续分情况

   • x=1，则有x^y=1<y=y^x
   • x=2，当y=3时，x^y<y^x，当y=4时，x^y=y^x，当y>4时，x^y>y^x
4. x>e, y<e，同理