求一个整数所有的求和获取方式

Question

编写一个函数 sum(n) ，求n有多少种求和获取方式。

如：n = 4 ：

4 
3 ＋ 1 
2 ＋ 2
2 ＋ 1 ＋ 1
1 ＋ 1 ＋ 1 + 1 

所以 sum(4)=5

下面是几个特例：

sum(-1) = 0
sum(1) = 1

测试用例如下：

sum(2) // 2  -> 1+1 , 2
sum(3) // 3 -> 1+1+1, 1+2, 3
sum(4) // 5 -> 1+1+1+1, 1+1+2, 1+3, 2+2, 4
sum(5) // 7 -> 1+1+1+1+1, 1+1+1+2, 1+1+3, 1+2+2, 1+4, 5, 2+3 

...

sum(50) // 204226
sum(80) // 15796476
sum(100) // 190569292

Answer 1

代码

function sum(a, b) {
    b = b | 1;
    return a >= 2 * b ? sum(a - b, b) + sum(a, b + 1) : a >= b ? 1 : 0;
}

展开版本：

function sum(a, b) {

    b = b || 1;     //当 b 未赋值，默认为 1
    
    if (a >= 2 * b) {
        return sum(a - b, b) + sum(a, b + 1);
    }else if (a >= b) {
        return 1;
    } else {
        return 0;
    }
}

---

解释

sum接收1个或两个参数：

1. 第一个参数是要求和的数字

2. 第二个参数是开始累加的数字（为了实现递归，将求和方式分解）

3. 为了避免重复，累加数字在累加过程中只增加、不减少，即测试的累加数列中后一项一定会大于或等于前一项

---

简单地说、把 sum(a, b) 的序列分成两部分：

• 第一个部分即由 b 开头，后接 sum(a-b, b) 的所有可能序列

• 第二个部分即由所有大于 b 的数字开头的和为 a 的序列，即 sum(a, b+1)

函数中第二个参数可能不好理解，这里举个例子：

sum(3); //求整数 3 的所有求和方式，等价于 sum(3,1);

sum(3,1) 计算后返回 sum(2,1) + sum(3,2)

• sum(2,1) 是 2 的所有求和方式，返回sum(a-b, b)的形式表示假定第一个累加的数字为b的值，所以从需要累加到的总和中减去b, 即sum(a-b, b)，计算后返回sum(1,1) + sum(2,2)

  • sum(1,1) 属于 a>=b && a<*2b 的情况（见下），返回 1，对应的累加序列为 1 + 1 + 1

  • sum(2,2) 同样属于 a>=b && a<2*b 的情况（见下），返回 1，对应的累加序列为 1 + 2

• sum(3,2)即sum(a, b + 1) 是 3 从大于等于 2 开始的所有求和方式（对应 a>=b && a<2*b的情况)

  • 假设第一个累加数字是 2 ，由于累加数字不减少，累加数列至少是 2 + 2 (即2*b，必定大于 a)，不符合要求

  • 在所有大于 2 的累加数中，仅有第一个累加数字为a、即 3 时，累加数列为 3 时符合要求，计一次有效的求和方式，返回 1

这就找到了 3 的所有求和方式：

• 1 + 1 + 1

• 1 + 2

• 3

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目前这个函数效率不太高。计算 sum(100) 时需要等待较长时间，期待更好的解法

补充

递归固然写起来简单，理解容易，但是对电脑的负担是很重的
看 Dappur 的答案感觉所谓学习算法是很重要的，那些总结出的分析方法都是前人的智慧。

这里我将 Dappur 的答案翻译为 js，供题主参考：

function sum(n){
    var f =[[1],[]];
    for(var i=1; i<=n; f[++i]=[];){
        for(var j=1; j<=i; ++j)
        {
            f[i][j] = f[i-1][j-1] || 0;
            if(i-j>0) f[i][j] += f[i-j][j] || 0;
        }
    }
    return f[n].reduce((a,b)=>a+b);
}

题主可自行对比尝试，对于较大的数字，真是快了一个数量级

Answer 2

int n;
//input n here
f[0][0]=1;
for(int i=1;i<=n;++i)
    for(int j=1;j<=i;++j)
    {
        f[i][j]=f[i-1][j-1];
        if(i-j>0) f[i][j]+=f[i-j][j];
    }
int ans=0;
for(int i=1;i<=n;++i) ans+=f[n][i];
//output ans here

由于好久没写js有点生疏了，就直接上C++代码了

这是一个简单的动态规划问题，我们用f[i][j]表示把数字i分割为j个部分的方案数。显然，最终结果为ANS=Σf[n][j] 1≤j≤n

接下来考虑DP方程的转移，即从已有的方案生成一个新的方案。为避免重复，我们采取如下操作：
1、在当前方案末尾加一个1上去，即由分割方案X=a1+a2+a3+...+ak得到X+1=a1+a2+a3+...+ak+1
2、将当前方案的每个部分都加一个1上去，即由分割方案X=a1+a2+a3+...+ak得到X+k=(a1+1)+(a2+1)+(a3+1)+...+(ak+1)

题主可以自己想一想，或者试着写几个出来，就会发现这样做的话，每个方案必定是从另一个唯一的方案生成而来的

把上面的两个操作写成代码，就是f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-j][j]

当然，既然我们所有的方案都是从另一个方案生成而来的，那必定有一个初始方案啊，显然的，初始方案就是f[0][0]=1，把数字0分割为0个部分，这样算一种情况。

当然还有其他的解法，比如生成函数之类的，可以参考http://blog.csdn.net/qq429205...，但是如果用程序代码来实现的话，DP是最简单的。

Answer 3

我的思路一直卡在数列里出不来了。这个可以求出来一个数列公式把。比如斐波那契数列那种f(n)=f(n-1)+f(n-2）.