C语言中float的舍入

Question

最近在学习C语言，是从《C Primer Plus》开始的。看到数据类型这一章，对于float类型的舍入有些疑问。

首先，先贴出书中关于float储值的一个描述。

C标准规定，float类型必须至少能表示6位有效数字，且取值范围至少是10的-37次方-10的正37次方。前一项规定了指float类型至少精确表示小数点后6位有效数字，如33.333333.后一项.......

#include <stdio.h>
int main(void)
{
        float a,b,c;
        c = 2.0e20;
        b = 2.0e20 + 1.0;
        a = b - 2.0e20;
        printf("%f %f %e\n", a, c, c); 
        return 0;
}

4008175468544.000000 200000004008175468544.000000 2.000000e+20

书中关于得出这个奇怪的结果是这样描述的：

计算机缺少足够的小数为来完成正确的运算。2.0e20是2后面的有20个0.如果把该数+1，那么发生变化的是第21位。要正确运算，程序至少要储存21位数字。而float类型的数字通常只能储存按照指数比例缩小或者放大6或者7位有效数字。

关于这段解释，我是一脸懵逼。

• 2e20远小于float最小表示数的范围，+1怎么就不够了？
• float正数小数分开储存，32位，8位表示指数，24位表示小数，这样+1也不会超过。

是我遗漏了什么地方吗？这确实很困扰我。

Answer 1

简单说下吧，有时间再来补上。
以下结果基于gcc5.4

#include <stdio.h>

int main(void)
{
    float a,b;
    b = 2.0e20 + 1.0;
    a = b - 2.0e20;
    printf("%f\n", a);
}
---
4008175468544.000000

如果把1.0 换成1e2, 1e3...1e13，得到的结果都是一样的。

精度问题

float使用23位存尾数的，注意这23位存的是01串，是二进制的尾数。
由于2^23 = 8388608（只是简单计算，去看IEEE754知道还隐含了一个1），所以存储十进制的小数小数点后精度也就6、7位。

计算

浮点数的计算，见维基百科这里
可知，浮点数计算需要把指数统一然后计算，那么问题来了，无论是1.0统一到2.0e20还是2,0e20统一到1.0，尾数的精度都超过了上面的精度，所以就有了这种奇怪的结果。

这个奇怪结果的产生和类型也有关系，1.0 和 2.0e20都是double型，这意味着b = 2.0e20 + 1.0是先对两个double型字面量计算，然后再赋给float型变量b,精度丢失。

题主有兴趣的话，去看看IEEE754标准，以及Google一下浮点数的计算

Answer 2

  突然看到这个问题，忍不住想要回答一下，毕竟，程序设计就是一门数据和算法的学问。
  首先呢，浮点型的值一般是由科学计数法表示的，不论是float类型，double类型还是long double类型都是这样。而且存储它们的时候和整型数值不太一样，整数是直接储存数字所转换的二进制数的，浮点型也是转换为二进制数但是是转换存储尾数、指数以及它们的符号。下面就拿float类型来说吧。
  float类型一般字长32位，其中8位用来存储指数和它的符号，24位用来存储尾数和它的符号，你可以算一算这32位里面，就单单存指数和尾数而言，在不受机器系统影响的情况下，究竟最大可以存多大的浮点值，远远大于你例子中的数值，但是我们不能拿这个当范围，你例子里的2.0e20，你不能把它的存储当成int型数字存储方式，在存储这个数字的时候是分成尾数2.0和指数20然后分别存储的，并不会说把200000000000000000000存起来，你想想把它转化成2进制要占多少位？所以+1更是微不足道了，所以说没有足够的小数来存储它（小数在存储的时候可不是小数哦），至于你说的那个范围，那个范围可是用科学记数法表示的(其实用以2为底表示会更加科学)，而且是C标准里边的最小范围(因为有点机器比较差，只是指定了最小范围)，根据机器的种类，具体的范围是会变化的，不如，我们平常用的32位个人电脑，float类型的范围是3.04E-38~3.04E38，这个范围也是用科学记数法表示出来的。至于你说的会被截断的原因和依据，其实浮点默认用double类型是为了保持数值的精度，往往float的有效小数的位数满足不了我们对精度的要求，所以无论是默认，还是在计算过程中所用到的浮点值常量，我们都用double类型，因为double类型的精度更高，截断成float类型，只是为了保证变量的数据格式，但是截断会损失精度，而且不会四舍五入的，只是因为因为你的变量声明就是float型的所以要截断，如果你声明double类型就不会了。