JavaScript能够表示的最小的数是怎么计算出来？

Question

JavaScript采用IEEE754存储整数和浮点数，有符号位S，指数E，尾数M组成。

JS能够表示的最大数是 2^1024 -1。此时M=1.000...,E=2047 (2047-1023=1024)。
±1.7976931348623157 × 10的308次方

但JS能够表示的最小数是怎么计算出来的呢？
按道理，E应该取0是最小，0-1023=-1023，此时的M也是1.0000(如何小于1没想明白，这个隐含的1如何去掉)?

这样算出来的1.11253692925360069155e-308

但我看到有答案说是±5 × 10的−324次方，这是怎么计算出来的呢？

Answer 1

既然是 JS 么，就用 JS 标准里的说法.... 64位浮点型，符号位 1 位， 指数位 11 位， 尾数 52 位。

首先，指数， 11 位，共 2048 种值，拿出 2 种值来（还剩2046中值），分别表示 0， NaN 正负无穷， 还有一类非正规数。

先说前三类情况， 指数为 0 尾数也全为 0 表示 0 (根据符号位会有正负0，两种表示)， 指数为2047 尾数不全为 0 表示NaN(所以NaN有很多种表示方法), 指数为 2047 位数全为 0 则表示Inf无穷。

然后是正规数的表示，正规数是指可以写成 s*m*2^e 形式的数，但是要求2^52 <= m < 2^53 && -1074 <= e <= 971 (恰好2046种情况，这里和IEEE754的说法不一样，最后再解释)。 通过上面的条件可知m是占53bit，但是最高为恒为 1 因此去掉，只保存后面 52bit 就可以了，这样我们就用 52bit 保存了 53bit 的 m。

最后是非正规数，依旧是可以写成 s*m*2^e 形式的数，但是，要求m < 2^52 && e == -1074。这种数呢，m 用52bit 可以表示，但是指数我们用 0 表示。但是这个值表示e == -1074。对于正规数，我们可以知道他有53位的2进制有效数字，转换成十进制是 15～16 位有效数字，但是非正规数就少于这个值了。

所以最大的数是 m = 2^53-1 && e = 971,即(2^53-1) * 2^971 = 1.79769313486e308
因此，你认为的最大数的算法是不对的，虽然前几位很像

// 2^1024-1 = 
179769313486231590772930519078902473361797697894230657273430081157732675805500963132708477322407536021120113879871393357658789768814416622492847430639474124377767893424865485276302219601246094119453082952085005768838150682342462881473913110540827237163350510684586298239947245938479716304835356329624224137215
// (2^53-1) * 2^971 =
179769313486231570814527423731704356798070567525844996598917476803157260780028538760589558632766878171540458953514382464234321326889464182768467546703537516986049910576551282076245490090389328944075868508455133942304583236903222948165808559332123348274797826204144723168738177180919299881250404026184124858368

最小数么，正规树的话是2^52*2^-1074 = 2.22507e-308,非正规数就是1*2^-1074 = 4.9406e-324。

最后说一下 IEEE754 的说法中，对于正规数 s*m*2^e ，可以写成s*(m/2^52)*2^(e+52)，此时这样看尾数就是从1.000……~1.11111……这样的小数，去掉前面的1就是一个0~1之间的数。 e+52 的范围就是-1022~1023， 这是 IEEE754的说法。

Answer 2

你说的1.11xxxxe-308应该是2.22xxxxe-308，这个叫做“常规形式”。还有一种是“非常规形式”，其绝对值的最小值为4.9xxxxe-324。这个在IEEE754里面都有说明。