为什么更改总和顺序会返回不同的结果？

Question

为什么更改总和顺序会返回不同的结果？

23.53 + 5.88 + 17.64 = 47.05

23.53 + 17.64 + 5.88 = 47.050000000000004

Java 和 JavaScript 返回相同的结果。

我知道，由于浮点数以二进制表示的方式，一些有理数（ 如 ¹⁄₃ - 0.333333… ）无法精确表示。

为什么简单地改变元素的顺序会影响结果？

原文由 Marlon Bernardes 发布，翻译遵循 CC BY-SA 4.0 许可协议

Answer 1

也许这个问题很愚蠢，但为什么简单地改变元素的顺序会影响结果呢？

它将根据值的大小更改值四舍五入的点。作为我们所看到的 这种 情况的一个例子，让我们假设我们使用的不是二进制浮点，而是具有 4 个有效数字的十进制浮点类型，其中每次加法都以“无限”精度执行，然后四舍五入为最接近的可表示数字。这里有两个总和：

 1/3 + 2/3 + 2/3 = (0.3333 + 0.6667) + 0.6667
                = 1.000 + 0.6667 (no rounding needed!)
                = 1.667 (where 1.6667 is rounded to 1.667)

2/3 + 2/3 + 1/3 = (0.6667 + 0.6667) + 0.3333
                = 1.333 + 0.3333 (where 1.3334 is rounded to 1.333)
                = 1.666 (where 1.6663 is rounded to 1.666)

我们甚至不需要非整数来解决这个问题：

 10000 + 1 - 10000 = (10000 + 1) - 10000
                  = 10000 - 10000 (where 10001 is rounded to 10000)
                  = 0

10000 - 10000 + 1 = (10000 - 10000) + 1
                  = 0 + 1
                  = 1

这可能更清楚地表明重要的部分是我们有有限数量的 _有效数字_——而不是有限数量的 _小数位_。如果我们可以始终保持相同的小数位数，那么至少通过加法和减法就可以了（只要值不溢出）。问题是，当您获得更大的数字时，会丢失更小的信息——在这种情况下，10001 被四舍五入为 10000。 （这是 Eric Lippert 在他的回答中指出 的问题示例。）

重要的是要注意右侧第一行的值在所有情况下都是相同的 - 因此尽管了解您的十进制数字（23.53、5.88、17.64）不会完全表示为 double 值，这只是一个问题，因为上面显示的问题。

原文由 Jon Skeet 发布，翻译遵循 CC BY-SA 3.0 许可协议

Answer 2

这是二进制文件中发生的事情。正如我们所知，有些浮点值不能精确地用二进制表示，即使它们可以精确地用十进制表示。这 3 个数字只是该事实的示例。

通过这个程序，我输出了每个数字的十六进制表示和每次加法的结果。

 public class Main{
   public static void main(String args[]) {
      double x = 23.53;   // Inexact representation
      double y = 5.88;    // Inexact representation
      double z = 17.64;   // Inexact representation
      double s = 47.05;   // What math tells us the sum should be; still inexact

      printValueAndInHex(x);
      printValueAndInHex(y);
      printValueAndInHex(z);
      printValueAndInHex(s);

      System.out.println("--------");

      double t1 = x + y;
      printValueAndInHex(t1);
      t1 = t1 + z;
      printValueAndInHex(t1);

      System.out.println("--------");

      double t2 = x + z;
      printValueAndInHex(t2);
      t2 = t2 + y;
      printValueAndInHex(t2);
   }

   private static void printValueAndInHex(double d)
   {
      System.out.println(Long.toHexString(Double.doubleToLongBits(d)) + ": " + d);
   }
}

printValueAndInHex 方法只是一个十六进制打印机助手。

输出如下：

 403787ae147ae148: 23.53
4017851eb851eb85: 5.88
4031a3d70a3d70a4: 17.64
4047866666666666: 47.05
--------
403d68f5c28f5c29: 29.41
4047866666666666: 47.05
--------
404495c28f5c28f6: 41.17
4047866666666667: 47.050000000000004

The first 4 numbers are x , y , z , and s ’s hexadecimal representations.在 IEEE 浮点表示法中，第 2-12 位表示二进制 _指数_，即数字的小数位数。 （第一位为符号位，其余位为 _尾数_。）表示的指数实际上是二进制数负1023。

提取前 4 个数字的指数：

     sign|exponent
403 => 0|100 0000 0011| => 1027 - 1023 = 4
401 => 0|100 0000 0001| => 1025 - 1023 = 2
403 => 0|100 0000 0011| => 1027 - 1023 = 4
404 => 0|100 0000 0100| => 1028 - 1023 = 5

第一组补充

第二个数字 ( y ) 较小。当将这两个数字相加得到 x + y 时，第二个数字的最后 2 位 ( 01 ) 被移出范围并且不计算在内。

第二次添加添加 x + y 和 z 并添加相同比例的两个数字。

第二组补充

在这里， x + z 首先出现。它们具有相同的规模，但它们产生的数字规模更高：

 404 => 0|100 0000 0100| => 1028 - 1023 = 5

The second addition adds x + z and y , and now 3 bits are dropped from y to add the numbers ( 101 ).在这里，必须有一个向上的循环，因为结果是下一个向上的浮点数： 4047866666666666 第一组加法与 4047866666666667 第二组加法。该错误足以显示在总数的打印输出中。

总之，在对 IEEE 数字执行数学运算时要小心。有些表示是不精确的，当尺度不同时它们变得更加不精确。如果可以的话，加减类似比例的数字。

原文由 rgettman 发布，翻译遵循 CC BY-SA 3.0 许可协议