使用python求解非方阵A的Ax = b

Question

我专注于特殊情况，其中 A 是 anxd 矩阵（其中 k < d）表示 R^d 的子空间的正交基，已知 b 位于子空间内。我想过使用 numpy 提供的工具，但是它们只适用于方矩阵。我的方法是用一些线性无关的向量填充矩阵以对其进行“平方”然后求解，但我不知道如何选择这些向量以使它们与基向量线性无关，而且我认为它是不是唯一的方法，我错过了一些可以使这更容易的东西。确实有比我提到的方法更简单的方法吗？如果不是，我究竟如何选择那些可以完成 A 的向量到一个方阵中？

原文由 Ron Tubman 发布，翻译遵循 CC BY-SA 4.0 许可协议

Answer 1

正如您提到的， np.linalg.solve 需要一个满秩方阵。

对于所有其他线性情况，如果您对 min||Ax-b||^2. 感兴趣（您可能是），您可以使用 np.linalg.lstsq 。

通过计算最小化欧几里德 2-范数 || 的向量 x 来求解方程 ax = b b - 斧头 ||^2。

该 方程可能欠定、良好或超定（即，a 的线性独立行数可以小于、等于或大于其线性独立列数）。如果 a 是方阵且满秩，则 x（但舍入误差除外）是方程的“精确”解。

（我加粗注释）

原始文档中也提到了这一点 np.linalg.solve ：

a 必须是方阵并且是满秩的，即所有行（或等价地，列）必须是线性独立的；如果两者都不正确，请使用 lstsq 来获得系统/方程的最小二乘最佳“解”。

原文由 sascha 发布，翻译遵循 CC BY-SA 4.0 许可协议