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极坐标下二重积分问题?

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清_浅
    29758125

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    一道很简单的二重积分问题，请问大佬，不按对称性的解法，按常规解法怎么算出结果的？
    我算的总是不对... 还有对称性的解法, 为什么关于y = 0对称就能推出上图的表达式。 没找到对称性关于这点的知识点。

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    javacc++后端算法
    阅读 1.2k
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    谢邀，这个的确是一个二重积分的问题。

    首先，把极坐标下的二重积分转化为直角坐标系下的二重积分，可以利用以下的转换公式：

    $$ x = \rho \cos \theta $$
$$ y = \rho \sin \theta $$
$$ d\rho d\theta = \frac{1}{\cos^2\theta+\sin^2\theta} dxdy $$

    对于本题，积分区域为 0 <= θ < π ，0 <= ρ < 2acosθ ，对于这样的区域，我们无法直接使用上面的转换公式进行计算，因为ρ会同时出现在分子和分母里，会相互消掉。

    因此，我们需要先利用对称性将ρ提出分子，即把区域变为 0 <= θ < π ，0 <= ρ^2 < 4cos^2θ ，再利用上面的转换公式进行计算。

    即：

    $$ I = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2\cos\theta} f(\rho,\theta) \rho d\rho d\theta = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2\cos\theta} f(\rho,\theta) \rho^2 d\rho d\theta / 2 = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \cos^{2}\theta} f(\sqrt{\rho^2},\theta) \rho^2 d\rho d\theta / 2$$
$$ = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \cos^{2}\theta} f(\sqrt{\rho^2},\theta) \frac{\rho^2}{\sqrt{\rho^2}} d\rho d\theta / 2 = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \cos^{2}\theta} f(\sqrt{\rho^2},\theta) d\sqrt{\rho^2} d\theta / 2$$
$$ = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot cos^{2}\theta d\theta / 2 = \int_{0}^{2\pi} 2cos^{2}\theta d\theta / 2 = ... $$

    这里我们把ρ^2提到积分号外面来了，并且用ρ代替了√ρ^2，因此下一步就是常规的定积分计算了。

    希望这个回答能帮到你。如果需要进一步详细解释或者有其他的二重积分问题，欢迎继续提问。

    1 个回答
    得票最新
    头像
    fefe
      18.2k122632
      ✓ 已被采纳

      因为对， f(x,y) = y , f(x,-y) = -f(x,y)。所以他在关于 y=0 对称的两个积分区域上，结果绝对值相等，符号相反。因而在关于 y=0 对称的整个积分区域上 $$ \iint_{\sigma}yd\sigma=0 $$

      或者可以这样写，对于关于y=0对称的i积分区域，

      $$ \iint_{\sigma} f(x,y)dxdy = \int dx \int_{-y_0}^{y_0}f(x,y)dy $$

      而由于 f(x,y) 对 y 是一个奇函数，所以 $$\int_{-y_0}^{y_0}f(x,y)dy = 0 $$

      你的解法大体是对的，但是:
      $$ \int_0^{2\pi} (\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\sin \theta ) d\theta = \int_0^{2\pi} \frac{1}{2}d\theta +\int_0^{2\pi}\frac{1}{3}\sin \theta d\theta$$

      你的前一项漏了积分，直接变成 1/2 了。然后，注意 cos(2 pi) = cos(0) = 1。

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