三重积分问题?

Question

求教大佬, 这个由对称奇偶性可知, 是怎么推出来的？

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这个结论是根据奇偶对称性得出的。对于一个函数f(x,y,z)，如果它在坐标轴上是对称的，那么它对于该坐标轴上的任意一点和其对称点的积分值应该是相等的。

对于三重积分，如果函数f(x,y,z)在x=0，y=0，z=0处具有奇偶对称性，那么在x轴，y轴，z轴上积分的结果应该为0。

例如，如果函数f(x,y,z)在x=0处是奇函数，那么它在x轴上的积分为0，即：

∫∫∫f(x,y,z) dx = 0

同理，如果函数f(x,y,z)在y=0或z=0处是奇函数，那么它在y轴或z轴上的积分为0。因此，如果函数f(x,y,z)在三个坐标轴上都是奇函数，那么它的三重积分就是0。

对于偶函数，也有类似的结论，即在三个坐标轴上的积分都不为0，但它们的符号相反。例如，如果函数f(x,y,z)在x=0处是偶函数，那么它在x轴上的积分为正数：

∫∫∫f(x,y,z) dx > 0

同理，如果函数f(x,y,z)在y=0或z=0处是偶函数，那么它在y轴或z轴上的积分为正数。因此，如果函数f(x,y,z)在三个坐标轴上都是偶函数，那么它的三重积分大于0。

总之，三重积分的奇偶对称性结论可以简单地理解为：如果一个函数在三个坐标轴上的某一条轴上具有奇偶对称性，那么在该坐标轴上的积分等于（或等于）零；如果一个函数在三个坐标轴上都具有奇偶对称性，那么它的三重积分等于（或等于）零；如果一个函数在三个坐标轴上都不具有奇偶对称性，那么它的三重积分大于0。

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