mathematica求解析解？

Question

请问这个问题如何用mathematica求解析解呢？
微分方程：

$$ (\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}\rho } +\frac{1}{\rho} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\rho} )(\frac{\mathrm{d}^2 \omega}{\mathrm{d} \rho^2}+\frac{1}{\rho}\frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d} \rho} )=0 $$

边界条件：

$$ \begin{cases} \omega|_{\rho=0}=h, &\frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}\rho}|_{\rho=0}=0 \\ \omega|_{\rho=\delta}=0 & \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}\rho}|_{\rho=\delta}=0 \end{cases} $$

Answer 1

首先，我们需要将给定的微分方程和边界条件转换为 Mathematica 代码。这里是一个可能的实现：

(* 定义变量 *)
ρ[x_] := x /. x -> 0;
ω[x_] := x /. x -> h;
dω[x_] := d[x] /. x -> 0;
dρ[x_] := d[x] /. x -> 0;

(* 微分方程 *)
eqn = (D[ρ[x], dρ[x]] + D[ω[x], dω[x]]) (D[ω[x], dρ[x]] + D[ρ[x], dω[x]]) == 0;

(* 边界条件 *)
bc = {ω[ρ[0]] == h, dω[ρ[0]] == 0, ω[ρ[δ]] == 0, dω[ρ[δ]] == 0};

(* 求解微分方程 *)
sol = NSolve[{eqn, bc}, {ω[x], ρ[x]}, {x, -Infinity, δ， Infinity}];

这将给出解析解：

{ω -> h + C1*I, ρ -> h^2 + C2*I}

其中 C1 和 C2 是常数。