一道算法问题？

Question

一位老师教一个班级的学生们四门课程,分别是数学、音乐、英语和自然课,对于在上这些课程的学生们满足以下条件每节课程只有3个学生。 这个班任意每两个学生至少一起上一门课程。 编写一段java程序, 计算该班最多可以有多少学生并生成所有符合上诉条件的分组可能。

Answer 1

首先从数学的角度考虑这道题：

用图论结合组合数学的办法，将每个学生看作是一个节点，每门课程看作是一个边，连接上这门课程的三个学生。由于任意两个学生至少一起上一门课程，所以任意两个节点都至少有一个共同的边。这实际上是一个完全图的定义，其中每个节点都与其他所有节点相连。

在完全图中，每个节点的度（即与其相连的边的数量）等于节点总数减一。因此，我们可以得出以下公式：

度 = 总节点数 - 1

又因为每门课程只有三个学生，所以每条边连接三个节点。所以，每个节点的度应该是2的倍数。因此，我们可以得出以下公式：

总节点数 - 1 = 2 * n (n为非负整数)

解这个方程，我们可以得到总节点数（即学生数）应该是奇数。而且，由于每门课程只能有三个学生，所以最多的学生数应该是4*3=12。

所以，该班最多可以有1, 3, 5, 7, 9, 11或12个学生。好了，上面的表述我们是人的思维思考数学问题，现在把它转化成计算机能理解的思维，我们在这里使用回溯法。创建一个空的分组列表。然后，我们逐个添加学生到每个课程，每次添加后，我们检查是否满足所有条件（每门课程只有三个学生，任意两个学生至少一起上一门课程）。如果满足，我们就将这个分组添加到分组列表中。如果不满足，我们就撤销上一步的操作，并尝试下一个可能的操作。我们重复这个过程，直到找到所有的分组可能。
代码表示下：

import java.util.*;

public class CourseGrouping {
    private static final int MAX_STUDENTS = 12;
    private static final int COURSE_COUNT = 4;
    private static final int STUDENTS_PER_COURSE = 3;
    
    private int[][] courses = new int[COURSE_COUNT][STUDENTS_PER_COURSE];
    private int[] studentCourses = new int[MAX_STUDENTS + 1];  // 存储每个学生选的课程
    
    public void solve() {
        for (int students = 1; students <= MAX_STUDENTS; students += 2) {  // 只考虑奇数个学生
            Arrays.fill(studentCourses, 0);  // 重置每个学生的课程
            if (group(students, 0, 0)) {
                System.out.println("For " + students + " students:");
                printCourses(students);
            }
        }
    }
    
    // 尝试为每门课程分配学生
    private boolean group(int students, int course, int count) {
        if (course == COURSE_COUNT) {
            return count == students && check(students);  // 检查是否所有学生都被分配，并且每个学生至少有两门课程
        }
        
        for (int i = 1; i <= students; i++) {
            if ((studentCourses[i] >> course & 1) == 0) {  // 如果这个学生还没有这门课程
                courses[course][count % STUDENTS_PER_COURSE] = i;  // 给这个学生分配这门课程
                studentCourses[i] |= 1 << course;  // 更新这个学生的课程
                
                if (group(students, course, count + 1)) {  // 递归尝试分配下一个学生
                    return true;
                }
                
                studentCourses[i] &= ~(1 << course);  // 如果不能分配，撤销这个分配
            }
        }
        
        // 如果这门课程已经分配了足够的学生，尝试下一门课程
        if (count % STUDENTS_PER_COURSE == 0) {
            if (group(students, course + 1, 0)) {
                return true;
            }
        }
        
        return false;
    }
    
    // 检查每个学生是否至少有两门课程
    private boolean check(int students) {
        for (int i = 1; i <= students; i++) {
            if (Integer.bitCount(studentCourses[i]) < 2) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
    
    // 打印每门课程的学生
    private void printCourses(int students) {
        for (int i = 0; i < COURSE_COUNT; i++) {
            System.out.print("Course " + (i + 1) + ": ");
            for (int j = 0; j < STUDENTS_PER_COURSE; j++) {
                System.out.print(courses[i][j] + " ");
            }
            System.out.println();
        }
        System.out.println();
    }
    
    public static void main(String[] args) {
        new CourseGrouping().solve();
    }
}