多值依赖的精确定义是什么？

Question

一、多值依赖的各种定义
定义1:t1,t2,t3形式
A multivalued dependency (MVD) over a relation schema R[U], is an expression of the form X ↠ Y ,where X,Y ⊆ U. An instance I of R[U] satisfies X ↠ Y , denoted by I⊧X ↠ Y ,if for every two tuples t1,t2 in I such that t1[X] = t2[X], there is another tuple t3 in I such that t3[X] = t1[X] = t2[X], t3[Y] = t1[Y], and t3[Z] = t2[Z],where Z = U − XY (XY represents X ∪ Y).

来源:https://link.springer.com/referenceworkentry/10.1007/978-0-38...

在这种定义中，t1,t2,t3必须各不相同，因为如果t1,t2,t3可以相同的话，无法保证分解是无损的。
定义1和定义2是等价的，在定义1中，第一次t1,t2存在一个t3;第二次将t1,t2的位置调换，t2,t1,又将存在一个t3',于是就演变成t1,t2,t3,t4。

定义2:t1,t2,t3,t4形式
2.1表达形式
A Multi-Valued Dependency(MVD) over schema R is a statement of the form X →→ Y where X, Y Í schema(R).

An MVD X →→ Y is satisfied in a relation r over R, denoted by r |= X →→ Y, for all t1, t2 Î r, if t1[X] = t2[X], there exists t3, t4 such that:
1) t1[X] = t2[X]= t3[X] = t4[X],
2) t3[Y] = t1[Y], t3[Z] = t2[Z] and
3) t4[Y] = t2[Y], t4[Z] = t1[Z],
where Z = schema(R) - XY
来源：https://home.cse.ust.hk/~wilfred/dbweb/mvd.html
这个定义没有提及t1,t2,t3,t4是否可以相同，Z是否可以是空集。
2.2表达形式
<<Fundamentals of Database Systems (7th edition)>>,author: Ramez Elmasri,page 475-476:
A multivalued dependency X → Y specified on relation schema R,
where X and Y are both subsets of R, specifies the following constraint on any
relation state r of R: If two tuples t1 and t2 exist in r such that t1[X] = t2[X], then
two tuples t3 and t4 should also exist in r with the following properties¹⁹, where we use Z to denote (R − (X ∪ Y))²⁰:

t3[X] = t4[X] = t1[X] = t2[X]    
t3[Y] = t1[Y] and t4[Y] = t2[Y]    
t3[Z] = t2[Z] and t4[Z] = t1[Z]   

19:The tuples t1, t2, t3, and t4 are not necessarily distinct.
20:Z is shorthand for the attributes in R after the attributes in (X ∪ Y) are removed from R.

2.3表达形式

来源：https://turing.cs.hbg.psu.edu/courses/comp419.taw.s97/rdesign...
这种定义充分考虑了多值依赖的对称特性。这个定义不认可"2.2表达形式"的空集场景。

2.4表达形式
国内版本数据库经典教材的表达形式：《数据库系统概论》（第5版）王珊等（ISBN 978-704-040664-1)，第186页，对多值依赖的定义：
设R (U)是属性集U上的一个关系模式，X、Y、Z是U的子集，并且Z=U-X-Y。关系模式R(U)中多值依赖X→ → Y成立，当且仅当对R(U)的任一关系r，给定的一对(x，z)值，有一组Y的值，这组值仅仅决定于x值而与z值无关。

下方是一个等价定义：
在R(U)的任一关系r中，如果存在元组t1,t2,使得t1[X] = t2[X]，那末必然存在元组t3,t4， 使得t3[X] = t4[X] = t1[X],t3[Y] = t1[Y],t3[Z]=t2[Z],t4[Y] = t2[Y],t4[Z] = t1[Z]
（我使用t1,t2,t3,t4取代原文的s,t,w,v,原文还说，w,v可以和s,t相同。表述仍旧不严谨，w,v可以和s,t相同,那末w可以和v相同吗？s可以和t相同吗)。通过反复阅读该书，我发现该书有表述："函数依赖可以看作是多值依赖的特殊情况，即若x -> y，则x ->> y。" （第188页），实际上就认可了s=t=w=v可以成立。对比"2.2表达形式",用词极不严谨（"2.2表达形式"也有不严谨的地方，但比它更好），下面的讨论围绕"2.2表达形式"展开。

二、进一步的讨论
总结上面的种种定义，我觉得"2.2表达形式"最具有概括性，但是仍有三点让我困惑：
1.t1,t2,t3,t4 are not necessarily distinct
这个定义明确表示tuples t1, t2, t3, and t4 are not necessarily distinct,但是含义仍不明确，t1=t2=t3=t4符合定义吗？t1=t3 and t2=t4也符合定义吗？t1,t2,t3,t4相等的各种组合都符合定义吗？
如果是t1,t2,t3,t4相等的各种组合都符合定义，那末
如果有这样的数据表：

course  teacher   book
物理    李勇       普通物理
物理    李勇       光学
物理    王军       普通物理
物理    王军       光学
数学    李丽       数学分析
数学    李军       线性代数

course -->> teacher 成立。

当course = 物理，让t1,t2,t3,t4各不相同，当然满足多值依赖的定义；
当course = 数学，让t1,t2,t3,t4全部相等，当然也满足多值依赖的定义。
( x -> y 也可以推出 x --> y,让t1,t2,t3,t4全部相等就自然得出这个结论)
我的观点可以成立吗？

2.Z = R − (X ∪ Y) ，Z可以是空集吗？
如果Z可以是空集，多值依赖的对称性受到破坏。
《数据库系统概论》（第5版）王珊等,p187,认可Z为空集，此时 x->> y 是平凡的多值依赖。
3.多值依赖的无损分解
如果我们认可"2.2表达形式",并且将tuples t1, t2, t3, and t4 are not necessarily distinct理解成，t1,t2,t3,t4相等的各种组合都符合定义，那末无损分解的特性会被破坏。
如果t1,t2,t3,t4必须是完全不同的元组，那末对多值依赖进行分解后，无损分解特性将得到保证。
In other words, for every value of X, the value of attributes in Y is independent of the value of attributes in Z. A multivalued dependency X ↠ Y is a special case of a join dependency expressed as ⋈[XY,X(U − XY)], which specifies that the decomposition of any instance I satisfying ⋈ [XY,X(U − XY)] into π _XY (I) and π _X(U−XY)(I) is lossless, i.e., I = π_XY(I) ⋈ π_X(U−XY)(I).
来源:https://link.springer.com/referenceworkentry/10.1007/978-0-38...

关于无损分解：不仅仅指没有信息丢失，如果重新连接分解后的关系，多出原来不存在的元组，那末也是有损的分解。以这个例子中的关系为例，分解成 (course,teacher)、(teacher,book)，重新连接会多出原来不存在的元组。这种分解不是无损的，也是有损的。这里的损字是破坏的含义，不是丢失的含义。

我思考了一个星期后得到的认识，请专家斧正一下。